Як розрахувати шанси виграти 1.1 мільярда доларів і вартість квитка Mega Millions

Здається, кожен квиток у 2 долари коштує 3.60 доларів. Але це не так.

Ймовірний джекпот для розіграшу Mega Millions 29 липня: 1.1 мільярда доларів. Імовірність того, що ваш квиток виграє: трохи більше, ніж 1 з 300 мільйонів.

Розділіть одне число на інше. Здається, очікуваний виграш квитка вартістю 2 долари становить понад 3.60 долара. Отже, ви повинні купити їх цілу купу?

Ні, і в цьому есе ми розглянемо арифметику чому. Якщо потрібно, купіть один квиток, заради розваги. Купувати дві було б безглуздо.

Є три причини, чому джекпот занадто мізерний, щоб ваш квиток міг принести позитивний очікуваний прибуток. По-перше, рекламоване число вводить в оману. Банк має бути виплачений протягом 30 років. Якщо ви хочете отримати все й одразу, сума зменшиться до 648 мільйонів доларів.

Ваш очікуваний виграш уже скоротився до 2 доларів США та зміни, що навряд чи краще, ніж беззбитковість.

Наступна проблема полягає в тому, що ви можете ділитися цими грошима. Імовірність того, що буде ще один переможець, становить 35%, тож ви отримаєте лише половину. Існує 40% шансів, що ви поділитеся з двома чи більше іншими переможцями.

Ризик необхідності ділитися знижує вартість джекпоту до 1.17 доларів США.

Остання стрижка — це податки. Федеральна ставка великого надходження становить 37%. Державна та місцева ставка може становити від 0% (наприклад, у Техасі) до 14.8% (у Нью-Йорку). У наведеній нижче таблиці виграшів передбачається 5% хіт штату та місцевого рівня.

Із сукупним податком у 42% ваша очікувана виплата від джекпоту зменшиться до 68 центів. Менші призи дещо варті, але недостатньо, щоб підняти вартість лотерейного квитка вище долара.

Є вибрана група лотерейних гравців, які досягають кращих результатів, тому що їхня сума від найменших виграшів звільняється від податків. Ця група складається з людей, які і багаті, і дурні. Я поясню пізніше.

Гра Mega Millions складається з вибору п’яти різних чисел у діапазоні від 1 до 70 та одного мега-числа в діапазоні від 1 до 25. Перші п’ять схожі на комбінацію в покері, і їх порядок не має значення. Мега-номер може бути таким же, як і в першій групі.

Щоб виграти джекпот, ви повинні влучити всі шість номерів. Якщо ви збігаєтеся з першими п’ятьма, але не з Мега-м’ячем, ви отримуєте 1 мільйон доларів. Є менші призи за менші матчі.

Я залишаю поза увагою цю дискусію варіант «мультиплікатора», який коштує додатковий долар і дає вам кращі виплати від суб-джекпоту.

Невеликі призи фіксовані. Джекпот ні. Він починається з малого і зростає щоразу, коли відбувається розіграш без переможця джекпоту.

Наприкінці розіграшу 26 липня банк становив 830 мільйонів доларів. За оцінками операторів лотерей, під час тиражу 415 липня буде продано трохи більше 27 мільйонів квитків, загальний обсяг продажів яких становить 831 мільйон доларів. 32.5% від цього, або 270 мільйонів доларів, йде в банк. Це призвело б до банку ввечері п'ятниці в 1.1 мільярда доларів. Це до знижки для негайної виплати.

Не моліться про шалену купівлю останнього дня, яка зробить джекпот більшим за офіційну оцінку. Це також збільшило б ризик того, що інші переможці заволодіють вашими грошима. Чистим ефектом від продажу квитків на цьому етапі є зниження вартості кожного квитка.

Ось мій розрахунок вартості квитка:

Вам може бути цікаво, звідки взялися деякі з цих цифр.

Щоб отримати шанси на виграш джекпоту, почніть із множення цієї кількості:

70 х 69 х 68 х 67 х 66,

це кількість способів витягнути п’ять куль з урни з 70 кульками без заміни, а потім розділити на цю кількість:

5 х 4 х 3 х 2,

це кількість способів послідовності п’яти об’єктів (пам’ятайте, лотерею не цікавить порядок).

Коли ви закінчите, помножте на 25, тому що у вас є лише 1 із 25 шансів забити мега-кулю.

Результат: 1 шанс виграти з 302,575,350 302,575,349 1. Або, іншими словами, шанси XNUMX XNUMX XNUMX до XNUMX проти.

Збіг чотирьох головних чисел у 325 разів більший. Це тому, що є п’ять різних чисел, які потрібно помилитися, і для кожного – 65 різних неправильних чисел.

Що стосується спільного доступу, це стає трохи складніше. Вам потрібно розрахувати коефіцієнт розподілу. Додайте ймовірність того, що інших переможців немає… до ½ ймовірності, що є ще один… до 1/3 імовірності, що є ще двоє… і так далі.

Я пропущу деталі, але зауважу, що перша з цих ймовірностей (те, що жоден з інших 415 мільйонів квитків не виграє джекпот) дуже наближена до e^-R, де e — число, яке ви повинні були вивчити в математиці клас і R це співвідношення 415 млн до 302.5 млн.

Як щодо ухилення від податкової накладної? Це важко зробити з більшими призами. Для невеликих виплат ви можете скористатися податковою знижкою за програші в азартних іграх. Якщо ви постійний гравець і зберігаєте незавершені квитки, у вас може бути достатньо, щоб списати виграш у 500 доларів. Однак відрахування обмежується сумою виграшу, яку ви повідомляєте, і на нього можуть претендувати лише люди, які вказують відрахування.

Взагалі кажучи, щоб отримати вигоду від деталізації, ви повинні бути багатими. Щоб бути звичайним гравцем в лотерею, потрібно бути дурним.